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线性筛欧拉函数

Wider · 1月27日 · 2020年 · · 2520次已读

线性筛欧拉函数

欧拉函数

在数论,对正整数n,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目,用\varphi(n)表示。

通式: \varphi(x)=x\prod\limits_{i=1}^{n}{(1-\frac{1}{p_i})}

其中p_1, p_2……p_nx的所有质因数,x是不为0的整数。

性质:

  1. $ \varphi(1)=1 $
  2. 当正整数p为质数时 \varphi(n)=n-1
  3. 欧拉函数是积性函数,当a与b互质时,满足 \varphi(a \times b)=\varphi(a) \times \varphi(b)
  4. 当p为质数时 \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1} 因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
  5. 当n为奇数时,\varphi(2n)=\varphi(n),证明与上述类似。
  6. n>2时,\varphi(n)都是偶数

两种代码(都能顺便筛素数)

  1. 第一种写法 类似于埃氏筛法 O(n\sqrt{n})?不推荐
int euler[maxn];
void euler_init(){ 
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
      euler[i]=i;           //初始化 
    for(int i=2;i<maxn;i++)
       if(euler[i]==i)      //判断是否为质数 若euler[i]!=i说明已经进行过运算了 
          for(int j=i;j<maxn;j+=i)
            euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 
  1. 第二种写法 欧拉筛改版O(n)
int prime[1000010],phi[1000010],cnt=0;
bool vis[10000010];
void Euler(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;//①
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>n)break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];//②
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//③
        }
    }
}
  • ①,参见性质2
  • ②,参见通式
    若i%prime[j]==0,则
    \varphi(i \times prime[j]) =i \times prime[j] \times \prod\limits_{i=1}^{n}{(1-\frac{1}{p_i})} =prime[j] \times \varphi(i)

  • ③,参见性质2和性质3
    若i%prime[j]!=0,则
    \varphi(i\times prime[j])=\varphi(i)\times \varphi(prime[j])=\varphi(i)\times (prime[j]-1)

欧拉定理

若n,a为正整数,且n,a互质,则a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n

当n为质数时,即为费马小定理a^{n-1} \equiv 1 \pmod n

应用

求解乘法逆元,若a,n互质,则
a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n\\ \Rightarrow a^{\varphi(n)-1} \times a \equiv a^{-1} \times a \pmod n\\ \Rightarrow a^{\varphi(n)-1} \equiv a^{-1} \pmod n
所以,a的在模n意义下的乘法逆元等于a^{\varphi(n)-1}

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