学习

二分图匹配の匈牙利算法

Wider · 1月27日 · 2020年 · · 1848次已读

匈牙利 算法

一. 算法简介

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出。该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

二分图的定义:

设G=(V,E)是一个无向图,顶点集V可分割为两个互不相交的子集V1,V2,那么称此图G为二分图。

例如,下图就是一个二分图:

二分图的匹配:

二分图中的子图中,每个节点只连一条边,则称该子图是二分图中的一个匹配。

极大匹配:

无法再向二分图中加入边,使得满足匹配条件。

最大匹配:

所有极大匹配中边数最多的一个匹配。

完美匹配

如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完美匹配。

方法:

求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配,然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级。因此,需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法。

算法图解:

下图是一个二分图,现在求最大匹配。

先从1出发,找增广路,找到1->A 这条路,标记并记录。

从2出发,找到2->B这条路,标记并记录。

从3开始找,发现3所连接边全部被占用,这时进行一个神奇的操作:

从三开始找一条增广路,3 -> A -> 1 -> B -> 2 -> C 

这时,在图中将有两种颜色的边删去,留下绿色的边。

这时,这张图的最大匹配值就是3.

三.算法模板

 核心代码:

bool Hungary(int x)
{
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
    {
        int tmp=e[i].to;
        if(!vis[tmp])
        {
            vis[tmp]=true;
            if(match[tmp]==INF||Hungary(match[tmp]))
            {
                match[tmp]=x;
                match[x]=tmp;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

主程序:

#define INF 0x3f3f3f3f
memset(match,0x3f,sizeof(match));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    if(Hungary(i))
    ans++;
}

时间复杂度:

邻接矩阵:
邻接表: O(nm)

空间复杂度:

邻接矩阵:
邻接表:O(n+m)

Luogu P1894完美的牛栏

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 210
using namespace std;
int n,m,ans=0;
struct Edge
{
    int to;
    int next;
}e[2*N*N];
int head[2*N],cnt=0;
void add(int from,int to)
{
    cnt++;
    e[cnt].to=to;
    e[cnt].next=head[from];
    head[from]=cnt;
}
int match[2*N];
bool vis[2*N*N];
bool Hungary(int x)
{
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
    {
        int tmp=e[i].to;
        if(!vis[tmp])
        {
            vis[tmp]=true;
            if(!match[tmp]||Hungary(match[tmp]))
            {
                match[tmp]=x;
                match[x]=tmp;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=m+1;i<=m+n;i++)
    {
        int num,x;
        scanf("%d",&num);
        for(int j=1;j<=num;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            add(i,x);//建边要建单向边
        }
    }
    for(int i=1+m;i<=n+m;i++)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(Hungary(i))
        ans++;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

转载自:SHHHS

0 条回应