最小费用最大流问题

最小费用最大流问题：

在最大流有多组解时，给每条边在附上一个单位费用的量，问在满足最大流时的最小费用是多少？

来搞清楚一些概念：
- 最小费用最大流：指满足源点流出的流量最大且流量平衡时，总费用最小的一个网络。
- 最小费用可行流：指满足流量平衡时，总费用最小的一个网络。
- 最大费用最大流：把费用都取相反数的最小费用最大流，很容易证明等价。
- 最大费用可行流：把费用都取相反数的最小费用可行流，很容易证明等价。

思路

其实，就了解，解决最小费用最大流问题有两种思路：
- 一条途径是先用最大流算法算出最大流，然后根据边费用，检查是否有可能在流量平衡的前提下通过调整边流量，使总费用得以减少。只要有这个可能，就进行这样的调整。调整后，得到一个新的最大流。然后，在这个新流的基础上继续检查，调整。这样迭代下去，直至无调整可能，便得到最小费用最大流。这一思路的特点是保持问题的可行性（始终保持最大流），向最优推进。
- 另一条途径最大流算法思路相类似，一般首先给出零流作为初始流。这个流的费用为零，当然是最小费用的。然后寻找一条源点至汇点的增流链，但要求这条增流链必须是所有增流链中费用最小的一条。如果能找出增流链，则在增流链上增流，得出新流。将这个流做为初始流看待，继续寻找增流链增流。这样迭代下去，直至找不出增流链，这时的流即为最小费用最大流。这一算法思路的特点是保持解的最优性（每次得到的新流都是费用最小的流），而逐渐向可行解（最大流）靠近。

一般使用第二种算法，有兴趣的同学可以自学第一种；

算法

给出一个容量网络，那他的最大流一定是一个定值（即使是有多个一样的最大值）。所以我们从开始的可行流开始增广时，最终的增广量是一定的。所以为了满足最小费用我们只需要每次找最小费用的增广路即可，直到流量为最大值。这个问题仅仅是在求增广路时先考虑费用最小的增广路，其他思想和EK思想一样。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define N 5010
#define M 50010
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,m,ss,tt;
queue<int>q;
int dis[N],minv[N];
bool vis[N];
struct Edge{int to;int value;int cost;int next;}e[M<<1];
struct Pre{int id;int node;}pre[M<<1];
int head[N],cnt=-1;
void add(int from,int to,int value,int cost)
{
    cnt++;
    e[cnt].to=to;
    e[cnt].value=value;
    e[cnt].cost=cost;
    e[cnt].next=head[from];
    head[from]=cnt;
}
bool spfa(int s,int t)
{
    q=queue<int>();
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(pre,-1,sizeof(pre));
    memset(minv,0x3f,sizeof(minv));
    dis[s]=0;
    vis[s]=1;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        vis[x]=0;
        for(int i=head[x];i>-1;i=e[i].next)
        {
            int now=e[i].to;
            if(dis[now]>dis[x]+e[i].cost&&e[i].value)
            {
                dis[now]=dis[x]+e[i].cost;
                minv[now]=min(minv[x],e[i].value);
                pre[now].id=i;
                pre[now].node=x;
                if(!vis[now])
                {
                    vis[now]=1;
                    q.push(now);
                }
            }
        }
    }
    return dis[t]!=INF;
}
void MCMF(int s,int t,int &maxflow,int &mincost)
{
    while(spfa(s,t))
    {
        for(int i=t;i!=s;i=pre[i].node)
        {
            e[pre[i].id].value-=minv[t];
            e[pre[i].id^1].value+=minv[t];
        }
        maxflow+=minv[t];
        mincost+=minv[t]*dis[t];
    }
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&ss,&tt);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c,d;
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
        add(a,b,c,d);
        add(b,a,0,-d);
    }
    int mf=0,mc=0;
    MCMF(ss,tt,mf,mc);
    printf("%d %d\n",mf,mc);
    return 0;
}